Question

【題目】過點(diǎn)任作一直線交拋物線于兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)分別作拋物線的切線．

（Ⅰ）記的交點(diǎn)的軌跡為，求的方程；

（Ⅱ）設(shè)與直線交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），且，．問是否為定值？若為定值，請求出定值．若不為定值，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)，，交點(diǎn)，得切線的方程為，切線的方程為，帶入點(diǎn)，進(jìn)而得交點(diǎn)的軌跡的方程是；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，將條件向量坐標(biāo)表示可得，，代入拋物線得，結(jié)合，可得，同理得，從而得是關(guān)于的方程的兩根，由韋達(dá)定理可得解.

詳解：（Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)，，交點(diǎn)

由題意得切線的方程為，

切線的方程為，

又因?yàn)辄c(diǎn)分別在直線上，

所以,

則直線的方程為，又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，

所以，即切線交點(diǎn)的軌跡的方程是.

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，

，因?yàn)?/span>，

所以，

因此，，

即，，

又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，

所以

（1）

由于點(diǎn)在直線上，所以，

把此式代入（1）式并化簡得：（2），

同理由條件可得：（3），

由（2），（3）得是關(guān)于的方程的兩根，

由韋達(dá)定理得.即為定值.