Question

已知點B（-1，0），C（1，0），P是平面上一動點，且滿足|

PC

|•|

BC

|=|

PB

|•|

CB

|．
（Ⅰ）求動點P的軌跡方程；
（Ⅱ）直線l過點（-4，4

3

）且與動點P的軌跡交于不同兩點M、N，直線OM、ON（O是坐標原點）的傾斜角分別為α、β．求α+β的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設P（x，y），則

PC

=（1-x，-y），

BC

=（2，0），

PB

=（-1-x，-y），

CB

=（-2，0），由|

PC

|•|

BC

|=|

PB

|•|

CB

|，知

(1-x)2+(-y)2

•2=2•(1+x)，從而得到動點P的軌跡方程．
（Ⅱ）由于直線l過點（-4，4

3

），且與拋物線y²=4x交于兩個不同點，所以直線l 的斜率一定存在，且不為0．由此能推導出α +β=

π

6

或α+β=

7π

6

．

解答：解：（Ⅰ）設P（x，y），則

PC

=（1-x，-y），

BC

=（2，0），

PB

=（-1-x，-y），

CB

=（-2，0），
∵|

PC

|•|

BC

|=|

PB

|•|

CB

|，
∴

(1-x)2+(-y)2

•2=2•(1+x)，
化簡得動點P的軌跡方程是：y²=4x．
（Ⅱ）由于直線l過點（-4，4

3

），且與拋物線y²=4x交于兩個不同點，所以直線l 的斜率一定存在，且不為0.設l：y-4

3

=k(x+4)，
由

y-4 3 =k(x+4) y2=4x

，得ky2-4y+(16k+16

3

) =0，
△=16-4k(16k+16

3

) ＞0，
∵0＜α+β＜2π．∴α +β=

π

6

或α+β=

7π

6

．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．