Question

【題目】如圖，某城市有一塊半徑為40m的半圓形（以O為圓心，AB為直徑）綠化區域，現計劃對其進行改建．在AB的延長線上取點D，使OD＝80m，在半圓上選定一點C，改建后的綠化區域由扇形區域AOC和三角形區域COD組成，其面積為S m2. 設∠AOC＝x rad.

（1）寫出S關于x的函數關系式S(x)，并指出x的取值范圍；

（2）張強同學說：當∠AOC=時，改建后的綠化區域面積S最大．張強同學的說法正確嗎？若不正確，請求出改建后的綠化區域面積S最大值.

Answer 1

【答案】（1）S＝：（2）

【解析】試題分析：（1）求出扇形區域AOC、三角形區域COD的面積，即可求出S關于x的函數關系式，并指出x的取值范圍；（2）求導數，確定函數的單調性，即可得出結論．

試題解析：

（1）因為扇形AOC的半徑為40m，∠AOC＝x rad，

在中， ， ， ，

所以．

從而 ＋．

（2）張強同學的說法不正確.

理由如下：

由（1）知， .

.

由，解得.

從而當時， ；當時， .

因此在區間上單調遞增，在區間上單調遞減．

所以當時，S取得最大值．