Question

已知動圓過定點(,0),且與直線x=相切,其中p＞0.

(1)求動圓圓心C的軌跡方程;

(2)設A、B是軌跡C上異于原點O的兩個不同點,直線OA和OB的傾斜角分別為α和β,當α、β變化且α+β為定值θ(0＜θ＜π)時,證明直線AB恒過定點,并求出該定點的坐標.

Answer 1

思路解析:此題是圓錐曲線的綜合題,(1)動點的軌跡方程求解時,常常結合其滿足的幾何特征及常見圓錐曲線的定義來分析比較容易,即常用數形結合的方法.(2)直線過定點問題必須引入參數表示出直線的方程,由直線系方程來解.

(1)解:如圖,設M為動圓圓心,(,0)記為F,過點M作直線x=的垂線,垂足為N,由題意知|MF|=|MN|,即動點M到定點F與定直線x=的距離相等,由拋物線的定義,知點M的軌跡為拋物線,其中F(,0)為焦點,x=-為準線,所以軌跡方程為y²=2px(p＞0).

(2)證明:如圖,設A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),

由題意得x₁≠x₂(否則α+β=π)且x₁、x₂≠0.

所以直線AB的斜率存在,設其方程為y=kx+b.

顯然x₁=,x₂=.

將y=kx+b與y²=2px(p＞0)聯(lián)立消去x,得ky²-2py+2pb=0.

由韋達定理知y₁+y₂=,y₁·y₂=.                                       ①

當θ=,即α+β=時,tanα·tanβ=1.

所以=1,x₁x₂-y₁y₂=0,

-y₁y₂=0,所以y₁y₂=4p².

由①知=4p²,所以b=2pk.

因此直線AB的方程可表示為y=kx+2pk,

即k(x+2p)-y=0.所以直線AB恒過定點(-2p,0).

當θ≠,由α+β=θ,得tanθ=tan(α+β)=.

將①式代入上式整理化簡可得tanθ=,

所以b=+2pk.

此時,直線AB的方程可表示為y=kx++2pk,

即k(x+2p)-(y-)=0.

所以直線AB恒過定點(-2p,).

所以,當θ=時,直線AB恒過定點(-2p,0),

當θ≠時直線AB恒過定點(-2p,).