Question

設函數f(x)＝axn(1－x)＋b(x＞0)，n為正整數，a，b為常數．曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程為x＋y＝1.

(1)求a，b的值；

(2)求函數f(x)的最大值．

 

Answer 1

(1) a＝1，b＝0. (2)

【解析】(1)因為f(1)＝b，由點(1，b)在x＋y＝1上，可得1＋b＝1，即b＝0.

因為f′(x)＝anxn－1－a(n＋1)xn，所以f′(1)＝－a.

又因為切線x＋y＝1的斜率為－1，所以－a＝－1，即a＝1.故a＝1，b＝0.

(2)由(1)知，f(x)＝xn(1－x)＝xn－xn＋1，f′(x)＝(n＋1)xn－1 .

令f′(x)＝0，解得x＝，在上，f′(x)＞0，故f(x)單調遞增；

而在上，f′(x)＜0，故f(x)單調遞減．

故f(x)在(0，＋∞)上的最大值為f ＝n·＝.