Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為BC的中點，求：
（1）求異面直線C₁E與BD 所成角的余弦值；
（2）求二面角C₁-DE-C的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）取CD中點為F，連接EF，證明∠FEC₁為異面直線C₁E與BD所成角，通過解三角形求出△FEC₁的三邊長，然后利用余弦定理求角的余弦值；
（2）過C作CH⊥DE于H，連接C₁H，則∠C₁HC就是二面角C₁-DE-C的平面角，求出CH，C₁H，即可求二面角C₁-DE-C的余弦值．

解答： 解：（1）設正方體邊長為2，取CD中點為F，連接EF，則EF∥BD，EF=

2

，C₁E=

5

，
∴∠FEC₁為異面直線C₁E與BD所成角，
∴cos∠FEC₁=

2+5-5

2 2 • 5

=

10

10

；
（2）過C作CH⊥DE于H，連接C₁H，則∠C₁HC就是二面角C₁-DE-C的平面角，
∵CD=2，CE=1，
∴DE=

5

，
∴CH=

2 5

5

，
∵CC₁=2，∴C₁H=

24 5

∴cos∠C₁HC=

6

6

．

點評：本題考查了異面直線所成的角的求法，二面角的平面角，訓練了利用余弦定理求角，是中檔題，正確作出二面角的平面角是關鍵．