Question

某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數：
①sin²13°＋cos²17°-sin13°cos17°；
②sin²15°＋cos²15°-sin15°cos15°；
③sin²18°＋cos²12°-sin18°cos12°；
④sin²(-18°)＋cos²48°-sin(-18°)cos48°；
⑤sin²(-25°)＋cos²55°-sin(-25°)cos55°.
(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數；
(2)根據(1)的計算結果，將該同學的發現推廣為三角恒等式，并證明你的結論．

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

解析試題分析：（Ⅰ）選擇（2），由sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°=1-sin30°=，可得這個常數的值．
（Ⅱ）推廣，得到三角恒等式sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=．
證明方法一：直接利用兩角差的余弦公式代入等式的左邊，化簡可得結果．
證明方法二：利用半角公式及兩角差的余弦公式把要求的式子化為 ，
即，化簡可得結果.
試題解析：法一：(1)選擇②式，計算如下：
         4分
(2)三角恒等式為    6分
證明如下：



              12分
法二：(1)同法一．
(2)三角恒等式為
證明如下：




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考點：1.分析法和綜合法；2.歸納推理．.