Question

【題目】頂點在原點，焦點在x軸正半軸的拋物線，經過點（3，6），
（1）求拋物線截直線y=2x﹣6所得的弦長．
（2）討論直線y=kx+1與拋物線的位置關系，并求出相應的k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可知：設拋物線的方程為：y2=2px，（p＞0），

由拋物線經過點（3，6），

∴36=2×p×3，解得：p=6，

∴拋物線方程為：y2=12x，

設直線y=2x﹣6與拋物線兩交點A（x1，y1），B（x2，y2），

由 ，整理得：x2﹣9x+9=0，

由韋達定理可知：x1+x2=9，x1x2=9，

∴|AB|= = =15，

拋物線截直線y=2x﹣6所得的弦長15

（2）

解：當k=0時，y=1，直線與拋物線有一個交點，

當k≠0時，由 ，整理得：k2x2+2（k﹣6）x+1=0，

當△=4（k﹣6）2﹣4k2＞0，解得：k＜3，

∴直線與拋物線有兩個交點，

△=4（k﹣6）2﹣4k2＜0，解得：k＞3，

直線與拋物線無交點，

當△=4（k﹣6）2﹣4k2=0，即k=3時，

直線與拋物線有一個交點，

綜上可知：當k＞3時，直線y=kx+1與拋物線相離，即直線與拋物線無交點，

當k=3時，直線y=kx+1與拋物線相切，直線與拋物線有一個交點，

當k＜3且k≠0，直線與拋物線相交，有兩個交點，

當k=0時，直線與拋物線相交，有一個交點

【解析】（1）由題意設橢圓的方程為：y2=2px，（p＞0），由拋物線經過點（3，6），代入即可求得p的值，求得拋物線方程，將y=2x﹣6代入y2=12x，由韋達定理求得x1+x2=9，x1x2=9，根據弦長公式可知：|AB|= ，即可求得拋物線截直線y=2x﹣6所得的弦長；（2）當k=0時，y=1，直線與拋物線有一個交點，當k≠0時，將y=kx+1代入拋物線方程，由△＞0，直線與拋物線有兩個交點，求得k的取值范圍，當△＜0，直線與拋物線相離，無交點，求得k的取值范圍，當△=0，直線與拋物線相切，僅有幾個交點，求得k的取值．