Question

（本小題共l2分）
如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1，延長A₁C₁至點P，使C₁P＝A₁C₁，連接AP交棱CC₁于D．
（Ⅰ）求證：PB₁∥平面BDA₁；
（Ⅱ）求二面角A－A₁D－B的平面角的余弦值；

Answer 1

本小題主要考查直三棱柱的性質、線面關系、二面角等基本知識，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應用向量知識解決問題的能力．


解法一：
（Ⅰ）連結AB₁與BA₁交于點O，連結OD，
∵C₁D∥平面AA₁，A₁C₁∥AP，∴AD=PD，又AO=B₁O，
∴OD∥PB₁，又ODÌ面BDA₁，PB₁Ë面BDA₁，
∴PB₁∥平面BDA₁．
（Ⅱ）過A作AE⊥DA₁于點E，連結BE．∵BA⊥CA，BA⊥AA₁，且AA₁∩AC=A，
∴BA⊥平面AA₁C₁C．由三垂線定理可知BE⊥DA₁．
∴∠BEA為二面角A－A₁D－B的平面角．
在Rt△A₁C₁D中，，
又，∴．
在Rt△BAE中，，∴．
故二面角A－A₁D－B的平面角的余弦值為．
解法二：
如圖，以A₁為原點，A₁B₁，A₁C₁，A₁A所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系A₁－B₁C₁A，則，，，，．
（Ⅰ）在△PAA₁中有，即．
∴，，．
設平面BA₁D的一個法向量為，
則令，則．
∵，
∴PB₁∥平面BA₁D，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BA₁D的一個法向量．
又為平面AA₁D的一個法向量．∴．
故二面角A－A₁D－B的平面角的余弦值為．

略