Question

函數y=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）在x∈（0，7π）內取到一個最大值和一個最小值，且當x=π時，y有最大值3，當x=6π時，y有最小值-3．
（1）求此函數解析式；
（2）寫出該函數的單調遞增區間；
（3）是否存在實數m，滿足不等式Asin（）＞Asin（）？若存在，求出m值（或范圍），若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，函數的最值可以確定A，根據在x∈（0，7π）內取到一個最大值和一個最小值，且當x=π時，y有最大值3，當x=6π時，y有最小值-3，可以確定函數的周期，從而求出ω的值和φ的值，從而求得函數的解析式；
（2）令 2kπ-≤x+≤2kπ+，解此不等式，即可求得函數的單調遞增區間；
（3）根據（1）所求得的ω和φ的值，分析和的范圍，確定函數在該區間上的單調性，即可求得結果．
解答：解：（1）∵當x=π時，y有最大值3，當x=6π時，y有最小值-3．
∴A=[3-（-3）]=3，=5π，
∴T=10π=，
∴ω==，
∵當x=π時，y有最大值3，
∴π+ϕ=，
∴ϕ=，
∴y=3sin（x+），
（2）令 2kπ-≤x+≤2kπ+得10kπ-4π≤x≤10kπ+π，k∈Z
∴函數的單調遞增區間為：{x|10kπ-4π≤x≤10kπ+π   k∈Z}；
（3）∵ω=，ϕ=，
∴ω+ϕ=+∈（0，），
ω+ϕ=+∈（0，），
而y=sint在（0，）上是增函數
∴+＞+，
∴＞
∴，
∴解得：．
∴m的取值范圍是．
點評：本題考查根據y=Asin（ωx+φ）的圖象求函數的解析式以及求函數的單調區間，問題（3）的設置，增加了題目的難度和新意，易錯點在于對∈（0，），∈（0，）的分析與應用，考查靈活應用知識分析解決問題的能力和運算能力，體現了轉化的數學思想方法，屬于難題．