Question

“-1＜a＜1”是“函數f（x）=x³-3x在區間（a-2，a）上有最大值”的（　　）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：利用導數求出函數f（x）=x³-3x在區間（a-2，a）上有最大值的等價條件，然后利用充分條件和必要條件的定義進行判斷．

解答：解：函數f（x）=x³-3x的導數為f'（x）=3x²-3=3（x²-1），
由f'（x）＞0，得x＞1或x＜-1，此時函數單調遞增．
由f'（x）＜0，得-1＜x＜1，此時函數單調遞減．
所以當x=-1時，函數取得極大值，此時極大值為f（-1）=-1+3=2．
當x=1時，函數取得極小值．
當f（x）=2時，由x³-3x=2，即x³-3x-2=0，解得x=2或x=-1，
要使函數f（x）在開區間內存在最大值，
則滿足

a-2＜-1 -1＜a≤2

，即

a＜1 -1＜a≤2

，解得-1＜a＜1．
故“-1＜a＜1”是“函數f（x）=x³-3x在區間（a-2，a）上有最大值”的充要條件．
故選C．

點評：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷和應用，利用導數求出函數的極值，結合數形結合是解決本題的關鍵，綜合性較強．