Question

如題圖已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的上、下頂點分別為A、B，右焦點為F，△FAB是邊長為2的等邊三角形．
 （I）求橢圓C的方程；   
（II）設過點F的直線l交橢圓C于M、N兩點，連接MO（O為坐標原點）并延長交橢圓C于點P，求△PMN的面積S_△PMN的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用已知及橢圓的標準方程及性質即可得出；
（Ⅱ）把直線l的方程與橢圓的方程聯立，利用根與系數的關系及三角形的面積公式、基本不等式的性質即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得：b=1，a=2．
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）由橢圓的對稱性可知：點M、P關于點O中心對稱，∴S_△PMN=2S_△OMN．
由（Ⅰ）可知：c=

22-12

=

3

，∴F(

3

，0)．
設直線l的方程為：x=my+

3

，聯立得

x=my+ 3 x2+4y2=4

，消去x得到(4+m2)y2+2

3

my-1=0，
∴y1+y2=

-2 3 m

4+m2

，y1y2=

-1

4+m2

．
∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

4 m2+1

m2+4

．
∴S△OMN=

1

2

|OF| |y1-y2|=

1

2

×

3

×

4 m2+1

m2+4

．
設t=

m2+1

∈[1，+∞)，則S△OMN=

2 3 t

t2+3

=

2 3

t+ 3 t

≤

2 3

2 t× 3 t

=1，當且僅當t=

3

時取等號．
∴S_△PMN≤2，即△PMN的面積的最大值為2．

點評：熟練掌握橢圓的標準方程及性質、直線與橢圓相交問題、根與系數的關系、三角形的面積公式、基本不等式的性質是解題的關鍵．