Question

已知函數f(x)=ax2+bx+c(

1

3

≤a≤1)的圖象過點A（0，1），且在該點處的切線與直線2x+y+1=0平行．
（Ⅰ）求b與c的值；
（Ⅱ）設f（x）在[1，3]上的最大值與最小值分別為M（a），N（a），求F（a）=M（a）-N（a）的表達式．

Answer 1

分析：（I）根據函數f（x）過點A（0，1），且在該點處的切線與直線2x+y+1=0平行，建立方程組即可求出b與c的值；
（Ⅱ）對函數f（x）進行配方，得到對稱軸，判定對稱軸與區間[1，3]的位置關系，求出最小值，討論對稱軸與區間中值2的大小，求出最大值，然后利用分段函數表示F（a）即可．

解答：解：（Ⅰ）由A（0，1）滿足f（x）解析式，∴c=1，
又f′（x）=2ax+b，x=0時f（0）=b=-2，∴b=-2
∴b=-2，c=1
（Ⅱ）f(x)=ax2-2x+1=a(x-

1

a

)2-

1

a

+1
∵a∈[

1

3

，1]，∴

1

a

∈[1，3]．∴當x=

1

a

時，N(a)=1-

1

a

（6分）
當

1

a

∈[1，2]時，a∈[

1

2

，1]，M(a)=f(3)=9a-5
當

1

a

∈[2，3]時，a∈[

1

3

，

1

2

]，M(a)=f(1)=a-1（10分）
∴F(a)=

a+ 1 a -2，a∈[ 1 3 1 2 ] 9a+ 1 a -6，a∈[ 1 2 ，1]

（13分）

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，利用導數求閉區間上函數的最值等有關基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查分類討論的思想，屬于中檔題．