Question

在（1+2x）ⁿ的展開式中，前三項的系數和為201．
（1）求展開式中第幾項的二項式系數最大？
（2）求展開式中第幾項的系數最大？

Answer 1

分析：（1）由題意可得前三項的系數和 1+2C_n¹+4C_n²=201，解方程求得n 的值．
（2）設第r+1項的系數最大，則有

C r 10 •2r≥ C r+1 10 •2r+1 C r 10 •2r≥ C r-1 10 •2r-1

，利用二項式系數的性質及組合數公式求出r的值．

解答：解：（1）由1+2C_n¹+4C_n²=201，得n=10．…（3分）
∴展開式中第6項的二項式系數最大．…（4分）
（2）設第r+1項的系數最大，則有

C r 10 •2r≥ C r+1 10 •2r+1 C r 10 •2r≥ C r-1 10 •2r-1

．…（8分）
解得

19

3

≤r≤

22

3

，…（10分）∴r=7．
∴展開式中第8項的系數最大．…（12分）

點評：本題主要考查二項式定理，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于中檔題．