Question

（2008•如東縣三模）設(shè)函數(shù)f（x）=lnx．
（Ⅰ）證明函數(shù)g（x）=f（x）-

2(x-1)

x+1

在x∈（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
（Ⅱ）若不等式1-x²≤f（e^1-2x）+m²-2bm-2，當(dāng)b∈[-1，1]時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）只需求出g′（x），證明g′（x）≥0；
（Ⅱ）原不等式即為m²-2bm-2≥1-（x-1）²在b∈[-1，1]時(shí)恒成立．由1-（x-1）²的最大值為1知，只需m²-2bm-3≥0在b∈[-1，1]時(shí)恒成立．令Q（b）=m²-2bm-3，則Q（-1）≥0，且Q（1）≥0．解出即可；

解答：（I）證明：∵g′(x)=

1

x

-

2(x+1)-2(x-1)

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

，
當(dāng)x＞1時(shí)，g'（x）＞0，
∴g（x）在x∈（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
（II）∵f（e^1-2x）=lne^1-2x=1-2x，
∴原不等式即為m²-2bm-2≥1-（x-1）²在b∈[-1，1]時(shí)恒成立．
∵1-（x-1）²的最大值為1，∴m²-2bm-3≥0在b∈[-1，1]時(shí)恒成立．
令Q（b）=m²-2bm-3，則Q（-1）≥0，且Q（1）≥0．
由Q（-1）≥0，m²+2m-3≥0，解得m≥1或m≤-3．
由Q（1）≥0，m²-2m-3≥0，解得m≥3或m≤-1．
∴綜上得，m≥3或m≤-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值及恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力．