Question

已知函數，滿足，且，為自然對數的底數．
（1）已知，求在處的切線方程；
（2）若存在，使得成立，求的取值范圍；
（3）設函數，為坐標原點，若對于在時的圖象上的任一點，在曲線上總存在一點，使得，且的中點在軸上，求的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

試題分析：（1）應用導數的幾何意義，求導數，求斜率，確定切線方程；
（2）由已知確定；
根據得：．
，只需．
應用導數，求函數，，的最大值即得解；
（3）設為在時的圖象上的任意一點，可得，，．
由于，得到．
， 的情況，求得的取值范圍.
方法比較明確，分類討論、轉化與化歸思想的應用，是解決問題的關鍵.
試題解析：（1），
，
在處的切線方程為：，即                  4分
（2），
，從而                      5分
由得：．
由于時，，且等號不能同時成立，所以，．
從而，為滿足題意，必須．                         6分
設，，則．
，，
從而，在上為增函數，
所以，從而．                               9分
（3）設為在時的圖象上的任意一點，則
的中點在軸上，的坐標為，
，，所以，，．
由于，所以．                                   11分 
當時，恒成立，；                            12分
當時，，
令，則
，，，從而在上為增函數，由于時，，， 
綜上可知，的取值范圍是．                                        14分