Question

甲乙兩人進行某種游戲比賽，規定每一次勝者得1分，負者得0分；當其中一人的得分比另一人的多2分時即贏得這場游戲比賽，比賽隨之結束；同時規定比賽次數最多不超過10次，即經10次比賽，得分多者贏得這場游戲，得分相等為和局．已知每次比賽甲獲勝的概率為p（0＜p＜1），乙獲勝的概率為q（q=1-p）．假定各次比賽的結果是相互獨立的，比賽經ξ次結束．
（1）求ξ的分布列及數學期望Eξ．
（2）求ξ的數學期望Eξ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）以P（ξ=k）記比賽經k次結束的概率，若k為奇數，則甲乙得分之差亦為奇數，因而有P（ξ=k）=0，考慮兩次比賽結果：①甲連勝或乙連勝兩次，稱為有勝負的再次，②甲乙各勝一次，稱為無勝負的兩次，此結果有兩種情況，分別求出相應的概率，比賽以k次結束，k必為偶數，則1，2兩次，3，4兩次，…，k-3，k-2兩次均未分勝負，從而求出P（ξ=k），列出分布列，利用數學期望公式解之即可；
（2）令2pq=x，根據Eξ=（1-x）

4

i=1

2ixi-1+10x4=2（1+x+x²+x³+x⁴）=

2(1-x5)

1-x

，以及則0＜x≤

1

2

，求出Eξ的取值范圍．

解答：解：（1）以P（ξ=k）記比賽經k次結束的概率，
若k為奇數，則甲乙得分之差亦為奇數，因而有P（ξ=k）=0．
考慮兩次比賽結果：
①甲連勝或乙連勝兩次，稱為有勝負的再次，結果出現的概率為p²+q²；
②甲乙各勝一次，稱為無勝負的兩次，此結果有兩種情況，故出現的概率為2pq．
比賽以k次結束，k必為偶數，則1，2兩次，3，4兩次，…，k-3，k-2兩次均未分勝負．
若k≠10，則第k-1，k兩次為有勝負的兩次，從而有
P（ξ=k）=(2pq)

k

2

-1（p²+q²）．
若k=10，比賽必須結束，所以P（ξ=20）=（2pq）⁴．
ξ其分布表為

ξ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P	0	p2+q2	0	2pq （p2+q2）	0	4 p2q 2 （p2+q2）	0	8 p3q 3 （p2+q2）	0	16 p4q 4

綜上所述Eξ=（p²+q²）

4

i=1

2i(2pq)i-1+10（2pq）⁴．
（2）令2pq=x，則0＜x=2pq≤

1

2

（p+q）²=

1

2

，
Eξ=（1-x）

4

i=1

2ixi-1+10x4=2（1+x+x²+x³+x⁴）=

2(1-x5)

1-x

∵0＜x≤

1

2

，且Eξ隨x增加而增加，所以2＜Eξ≤

31

8

．

點評：本題主要考查了離散型隨機變量的期望與方差，以及分類討論的數學思想，同時考查了運算求解的能力，這也是高中常見的題型，解題時認真細致，屬于中檔題．