Question

【題目】有一塊半圓形的空地，直徑米，政府計劃在空地上建一個形狀為等腰梯形的花圃，如圖所示，其中為圓心，，在半圓上，其余為綠化部分，設.

（1）記花圃的面積為，求的最大值；

（2）若花圃的造價為10元/米，在花圃的邊、處鋪設具有美化效果的灌溉管道，鋪設費用為500元/米，兩腰、不鋪設，求滿足什么條件時，會使總造價最大.

Answer 1

【答案】（1）；（2）時，總造價最大.

【解析】

（1）根據梯形的面積公式可得，解得三角函數的性質和導數求得的最大值.

（2）求得花圃的總造價，然后利用導數求得時，總造價最大.

（1）設半徑為，則米，作，垂足為，

因為，所以，

所以，

所以

.

，

所以當時，，遞增；當時，，遞減.

所以當時最大，最大值為.

（2）設花圃總造價為，.

.

令，則，由于，則.

當時，，函數單調遞增，

當時，，函數單調遞減，

所以當時，函數有最大值，即總造價最大.