Question

如圖在四棱錐中,底面是邊長為的正方形,側面底面，且．

(1)求證：面平面；
(2)求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景考查線面垂直、面面垂直的判定以及二面角的求法，可以運用傳統幾何法，也可以用空間向量法求解，突出考查空間想象能力和計算能力.第一問，法一，先利用面面垂直的性質判斷出，從而平面，所以垂直于面內的任意的線，由，判斷是等腰直角三角形，所以且，所以面，利用面面垂直的判定定理得面面垂直，法二，利用空間向量法，通過證明，其它過程與法一相同；第二問，由第一問得到平面的法向量為，而平面的法向量需要計算求出，
，所以，最后用夾角公式求夾角余弦值.
試題解析：(1)解法一：因為面面平面面
為正方形，，平面
所以平面∴                2分
又，所以是等腰直角三角形，
且，即 ，
，且、面，
面            
又面，∴面面.          6分
解法二：
如圖,

取的中點, 連結,.
∵,  ∴.
∵側面底面,
平面平面, 
∴平面,
而分別為的中點,∴,
又是正方形,故.
∵,∴,.
以為原點,向量為軸建立空間直線坐標系,
則有,,,,,.
∵為的中點, ∴                     2分
(1)∵，，  ∴，
∴,從而,又,,
∴平面，而平面，
∴平面平面．                     6分
（2）由（1）知平面的法向量為，
設平面的法向量為，∵，
∴由，，可得
取，則故.
∴,
即二面角的余弦值為,        12分