Question

已知在數列{a_n}中，（t>0且t≠1）．是函數的一個極值點．

（1）證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；

（2）記，當t=2時，數列的前n項和為S_n，求使S_n>2012的n的最小值；

（3）當t=2時，是否存在指數函數g（x），使得對于任意的正整數n有成立？若存在，求出滿足條件的一個g（x）；若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）1005；（3）見解析.

【解析】（1）先求出，因為可以整理得，又且，求得數列 是首項為，公比為t的等比數列，利用累加法求出；（2）由（1）和t=2，，得，分組求和得解，得n的最小值為1005．（3）先對變形找到滿足條件的指數函數，再裂項求和證明函數滿足條件..

解：（1）．

由題意，即．         …………1分

∴

∵且，∴數列是以為首項，t為公比的等比數列，

                                                                                                                …………2分

以上各式兩邊分別相加得，∴，

當時，上式也成立，∴                                                         …………5分

   （2）當t=2時，

                                                         …………7分

                                                                                                               

由，得，

，                                                                                   …………8分

當，

因此n的最小值為1005．                                                                         …………10分

   （3）∵

令，則有：

則

                                                                                                                …………13分

即函數滿足條件．，.