Question

已知函數f（x）=4x²-kx+8
（Ⅰ）若函數f（x）為R上的偶函數，求實數k的值；
（Ⅱ）用函數單調性的定義證明：當k=8時，函數f（x）在[1，+∞）上為增函數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由偶函數的定義可求k的值；（Ⅱ）用函數單調性的定義直接證明即可．

解答：解：（Ⅰ）∵函數f（x）為偶函數，∴任取x∈R，都有f（-x）=f（x），
         即4（-x）²-k（-x）+8=4x²-kx+8，∴k=0；
    （Ⅱ）當k=8時，函數f（x）=4x²-8x+8，現用函數單調性的定義證明f（x）在[1，+∞）上的增減性
         證明：任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，則
              f（x₁）-f（x₂）=（4x12-8x₁+8）-（4x22-8x₂+8）=4（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）；
∵1≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂-2＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
              即f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在[1，+∞）上為增函數．

點評：本題用二次函數為載體，考查函數的奇偶性和單調性，是基礎題．