Question

【題目】已知函數f（x）=sin（ ﹣x）sinx﹣ cos2x． （I）求f（x）的最小正周期和最大值；
（II）討論f（x）在[ ， ]上的單調性．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數f（x）=sin（ ﹣x）sinx﹣ x=cosxsinx﹣ （1+cos2x） = sin2x﹣ cos2x﹣ =sin（2x﹣ ）﹣ ，
故函數的周期為 =π，最大值為1﹣ ．
（Ⅱ）當x∈ 時，2x﹣ ∈[0，π]，故當0≤2x﹣ ≤ 時，即x∈[ ， ]時，f（x）為增函數；
當 ≤2x﹣ ≤π時，即x∈[ ， ]時，f（x）為減函數．
【解析】（Ⅰ）由條件利用三角恒等變換化簡函數的解析式，再利用正弦函數的周期性和最值求得f（x）的最小正周期和最大值． （Ⅱ）根據2x﹣ ∈[0，π]，利用正弦函數的單調性，分類討論求得f（x）在 上的單調性．
【考點精析】通過靈活運用二倍角的余弦公式，掌握二倍角的余弦公式：即可以解答此題．