Question

已知函數，

（1）若是常數，問當滿足什么條件時，函數有最大值，并求出取最大值時的值；

（2）是否存在實數對同時滿足條件：（甲）取最大值時的值與取最小值的值相同，（乙）？

（3）把滿足條件（甲）的實數對的集合記作A，設，求使的的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1），值域為；（2）證明見解析；（3）存在，且．

【解析】

試題分析：（1）這是一個不等式恒成立問題，把不等式轉化為恒成立，那么這一定是二次不等式，恒成立的條件是可解得，從而得到的解析式，其值域也易求得；（2）要證明數列在該區間上是遞增數列，即證，也即，根據的定義，可把化為關于的二次函數，再利用，可得結論；（3）這是一道存在性問題，解決問題的方法一般是假設存在符合題意的結論，本題中假設存在，使不等式成立，為了求出，一般要把不等式左邊的和求出來，這就要求我們要研究清楚第一項是什么？這個和是什么數列的和？由，從而，

，不妨設，則（），對這個遞推公式我們可以兩邊取對數把問題轉化為，這是數列的遞推公式，可以變為一個等比數列，方法是上式可變為，即數列是公比為2的等比數列，其通項公式易求，反過來，可求得，從而求出不等式左邊的和，化簡不等式．

試題解析：（1）由恒成立等價于恒成立，

從而得：，化簡得，從而得，所以，

3分

其值域為.                                         4分

（2）解：  

6分

， 8分

從而得，即，所以數列在區間上是遞增數列.

 10分

（3）由（2）知，從而；

，即；

12分

令，則有且；

從而有，可得，所以數列是為首項，公比為的等比數列，

從而得，即，

所以 ，

所以，所以，

所以，

.

即，所以，恒成立.

15分

當為奇數時，即恒成立，當且僅當時，有最小值為.

16分

當為偶數時，即恒成立，當且僅當時，有最大值為.

17分

所以，對任意，有.又非零整數，

18分

考點：（1）二次不等式恒成立問題與函數的值域；（2）遞增數列；（3）遞推公式，的數列通項公式，等比數列的前項和．