Question

素材1：y=f(x)為（0，+∞）上的增函數；

素材2：f(x)+f(x-)≤0;

素材3：函數y=f(x)（x∈R且x≠0）對任意非零實數x₁、x₂，恒有f(x₁x₂)=f(x₁)+f(x₂).

先將上面的素材構建成一個問題，然后再解答.

Answer 1

構建問題：設函數y=f(x)(x∈R且x≠0）對任意非零實數x₁、x₂，恒有f(x₁x₂)=f(x₁)+f(x₂)，

（1）求證：y=f(x)是偶函數；

（2）已知y=f(x)為(0,+∞)上的增函數，求適合f(x)+f(x-)≤0的x的取值范圍.

（1）證明：∵f(x₁x₂)=f(x₁)+f(x₂)(x₁x₂≠0),

∴f(1)=f(1)+f(1)=2f(1).

∴f(1)=0.

∴f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1).

∴2f(-1)=0，即f(-1)=0.

對任意的x≠0,都有f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x),

∴f(x)為偶函數.

（2）解析：∵f(x₁x₂)=f(x₁)+f(x₂)(x₁x₂≠0),

∴f(x)+f(x-)=f(x²-x).

∵f(x)+f(x-)≤0,

∴f(x²-x)≤0.

∵f(x)為偶函數且f(1)=0,

∴f(|x²-x|)≤f(1).

∵f(x)在（0，+∞）上是增函數,

∴

∴≤x≤且x≠0,x≠.