Question

某賓館有相同標準的床位100張，根據經驗，當該賓館的床價（即每張床位每天的租金）不超過10元時，床位可以全部租出；當床位高于10元時，每提高1元，將有3張床位空閑． 為了獲得較好的效益，該賓館要給床位定一個合適的價格，條件是：①要方便結帳，床價應為1元的整數倍；②該賓館每日的費用支出為575元，床位出租的收入必須高于支出，而且高得越多越好．若用x表示床價，用y表示該賓館一天出租床位的凈收入（即除去每日的費用支出后的收入）：
（1）把y表示成x的函數；
（2）試確定，該賓館將床價定為多少元時，既符合上面的兩個條件，又能使凈收入高？

Answer 1

解：（1）
（2）當6≤x≤10且x∈N^*時，y=100x-575，
所以當x=10時，y_max=425；
當11≤x≤38且x∈N^*時，y=-3x²+130x-575=-3（x-65/3）²+2500/3，
所以當x=22時，y_max=833；
綜上，當x=22時，y_max=833．
答：該賓館將床價定為22元時，凈收入最高為833元．
分析：（1）當床價不超過10元時，床位全部租出，該賓館一天出租床位的凈收入為100x-575，由于床位出租的收入必須高于支出且x為整數，得到6≤x≤10且x∈N⁺；當床價超過10元時，該賓館一天出租床位的凈收入為[100-3（x-10）]x-575，化簡可得，此時的11≤x≤38；
（2）分兩段求函數的最大值，當6≤x≤10，當x=10時，y_max=425；當11≤x≤38且x∈N^*時，根據二次函數求最大值的方法求出即可，然后判斷去最大．
點評：考查學生會根據實際問題選擇合適的函數關系，會求分段函數的解析式及最大值．