Question

設函數f（x）對任意的實數x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＜0時，f（x）＜0，f（-1）=-2．
（1）求證：f（x）是奇函數；
（2）試問當-2≤x≤2時，f（x）是否有最大值或最小值？如果有，求出最值；如果沒有，請說出理由．

Answer 1

分析：（1）采用賦值法，令令x=y=0得f（0）=0，再令令y=-x即可；
（2）可先利用單調性的定義判斷f（x）在-2≤x≤2時的單調性，再求最值．

解答：解：（1）證明：依題意 令x=y=0得f（0）=0，
令y=-x得 f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函數；
（2）有最大值4，最小值-4．理由如下：
設-2≤x₁＜x₂≤2，則x₁-x₂＜0，有已知可得f（x₁-x₂）＜0
∵f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在區間[-2，2]上是增函數．
又∵f（-2）=2f（-1）=-4，f（2）=-f（-2）=4
∴當-2≤x≤2時，f（x）_max=f（2）=4，f（x）_min=f（-2）=-4．

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查函數的奇偶性及單調性的概念及其應用，屬于中檔題．