Question

已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓，離心率e=

2

2

，且經過拋物線x²=4y的焦點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若過點B（0，-2）的直線l（斜率不等于零）與橢圓交于不同的兩點E，F（E在B，F之間），△OBE與△OBF面積之比為λ，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設橢圓的標準方程，根據離心率求得a和c的關系，根據經過拋物線x²=4y的焦點求得b，從而可求橢圓的方程；（2）設直線l方程，與橢圓方程聯立消去y，根據判別式大于0確定m的范圍，將三角形面積之比轉化為

BE

=λ

BF

，進而可得λ，m的關系式，由此即可確定λ的范圍．

解答：解：（1）由已知得F（0，1），設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則b=1
∵橢圓的離心率為e=

2

2

，∴

c

a

=

2

2

，
∵a²=b²+c²，∴a²=2，c=1
∴橢圓方程為

x2

2

+y²=1；
（2）由題意知l的斜率存在且不為零，設l方程為y=mx-2（m≠0）①，代入

x2

2

+y²=1，
整理得（2m²+1）x²-8mx+6=0，由△＞0得m²＞

3

2

．
設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），則x₁+x₂=

8m

2m2+1

，x₁x₂=

6

2m2+1

②
∵△OBE與△OBF面積之比為λ
∴

|BE|

|BF|

=λ，∴

BE

=λ

BF

∴x₂=λx₁．
代入②得，消去x₁得

(1+λ)2

λ

=

32

3

×

1

2+ 1 m2

，
∵m²＞

3

2

．
∴0＜

1

m2

＜

2

3

∴4＜

(1+λ)2

λ

＜

16

3

∴

1

3

＜λ＜3且λ≠1

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，解題的關鍵是聯立方程，利用韋達定理進行求解．