Question

已知函數f(x)=ax3-3x2+1-

3

a

．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若曲線y=f（x）上兩點A，B處的切線都與y軸垂直，且線段AB與x軸有公共點，求實數a的取值范圍．
（3）當x∈[-1，2]時，函數y=f（x）的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3a，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對函數f（x）進行求導，根據導函數大于0原函數單調遞增，導函數小于0原函數單調遞減進行討論．
（2）由題意可值點AB應是函數f（x）的極值點，再根據線段AB與x軸有公共點可知以 f(0)•f(

2

a

)≤0，從而得到答案．
（3）本小問可轉化成f′（x）=3ax²-6x＞3a在區間[-1，2]恒成立，即3ax²-6x-3a＞0在區間[-1，2]恒成立，將x=-1和x=2代入使之成立，即可求出a的范圍．

解答：解：（1）由題設知a≠0，f′(x)=3ax2-6x=3ax(x-

2

a

)．
令f′（x）=0得x1=0，x2=

2

a

．
①當a＞0時，若x∈（-∞，0），則f′（x）＞0，則f（x）在區間（-∞，0）上是增函數；
若x∈(0，

2

a

)，則f′（x）＜0，則f（x）在區間(0，

2

a

)上是減函數；
若x∈(

2

a

，+∞)，則f′（x）＞0，則f（x）在間(

2

a

，+∞)上是增函數．
②當a＜0時，若a≤-2，則a≥1，則f（x）在區間(-∞，

2

a

)上是減函數；
若x∈(

2

a

，0)，則f′（x）＞0，則f（x）在區間(

2

a

，0)上是增函數；
若x∈（0，+∞），則f′（x）＜0，則f（x）在區間（0，+∞）上是減函數．
（2）由（1）的討論及題設知，曲線y=f（x）上的兩點A、B的縱坐標均為函數的極值．
且函數y=f（x）在x=0，x=

2

a

處分別取得極值f(0)=1-

3

a

，f(

2

a

)=-

4

a2

-

3

a

+1．
因為線段AB與x軸有公共點，所以f(0)•f(

2

a

)≤0，
即(-

4

a2

-

3

a

+1)(1-

3

a

)≤0．所以

(a+1)(a-3)(a-4)

a3

≤0．
故a（a+1）（a-3）（a-4）≤0且a≠0．解得-1≤a＜0或3≤a≤4
即所求實數a的取值范圍是[-1，0）∪[3，4]．
（3）可轉化成f′（x）=3ax²-6x＞3a在區間[-1，2]恒成立，
即3ax²-6x-3a＞0在區間[-1，2]恒成立，
將x=-1和x=2代入使之成立，解得a＞

3

4

∴a的取值范圍（

3

4

，+∞）

點評：本題主要考查函數的單調性、極值點與其導函數之間的關系．導數是高等數學下放到高中，是高考的熱點問題，每年必考要給予重視．