Question

已知函數f（x）=-

x3

3

+x²+3x-3a（a＜0）．
（1）若a=-1，P為曲線y=f（x）上一動點，求以P為切點的切線斜率取最大值時的切線方程；
（2）若x∈[3a，a]時，f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對函數f（x）進行求導，求出導函數的最大值即為所求切線方程的斜率，再求出切點再由點斜式得到切線方程．
（2）根據導函數值的正負判斷函數的單調性，然后對a的不同范圍求函數f（x）在x∈[a，3a]上的最小值使得大于等于0，進而可確定a的范圍．

解答：解：（1）設切線的斜率為k，則k=f′（x）=-x²+2x+3，
當x=1時，k有最大值4，又f（1）=

20

3

，
所以切線方程為y-

20

3

=4（x-1），即12x-3y+8=0．
（2）由f′（x）=-x²+2x+3＞0得f（x）在區間（-1，3）上是增函數，
在區間（-∞，-1），（3，+∞）是減函數，
若x∈[3a，a]時，f（x）≥0恒成立，則

-1≤3a＜a＜0 f(x)min=f(3a)≥0

（1）
或

3a＜-1≤a＜0 f(x)min=f(-1)≥0

（2）
或

3a＜a＜-1 f(x)min=f(a)≥0

（3）
（1）無解，由（2）得-1≤a≤-

5

9

，由（3）得a＜-1．
綜上所述，實數a的取值范圍為a≤-

5

9

．

點評：本題主要考查導數的幾何意義、函數單調性與其導函數的正負之間的關系、函數恒成立問題，屬基礎題．