Question

某公司用300萬元買回客船一艘，投入營運后，每月需開支燃油費、維修費、員工工資． 已知每月燃油費7000元，第n個月的維修費和工資支出為600（n-1）+3000元，如果把購船費和所有支出費用平攤到的每一個月，叫做每月平均消耗，當平均消耗最低時，營運成本最低．
（1）設月平均消耗y，寫出y與n（月）的函數關系；
（2）投入營運幾個月時，營運成本最低？
（3）若第一年純收入50萬，以后每年純收入按5%遞減，則多少年后可收回成本？

Answer 1

分析：（1）先求出購船費和所有支出費的和，然后把購船費和所有支出費用平攤到的每一個月，可得月平均消耗y與n（月）的函數關系；
（2）利用基本不等式可得最值，從而求出此時n的值，從而求出所求；
（3）假設x年后可收回成本，則收入是首項為50，公比為0.95的等比數列，然后建立收入＞成本的不等式，解之即可求出所求．

解答：解：（1）購船費和所有支出費為300+0.7n+[0.3+0.3×0.06+0.3×2×0.06+…+0.3×（n-1）×0.06]=300+0.97n+0.03n²萬元
∴y=

300

n

+0.97+0.03n
（2）y=

300

n

+0.03n+0.97≥2

300×0.03

=6
當且僅當n=100時取等號
∴投入營運100個月時，營運成本最低．
（3）假設x年后可收回成本，則收入為50+50（1-5%）+50（1-5%）²+…50（1-5%）^x-1=1000（1-0.95^x）＞300
解得x=7時滿足條件，x=6時不滿足條件
故7年后可收回成本．

點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及利用基本不等式求函數的最值，同時考查了指數不等式的解法，屬于中檔題．