Question

已知圓心C在直線x+2y=0上，與x軸相切于x軸下方，且截直線x+y=0所得弦長為2

2

．
（1）求圓C的方程；
（2）若圓C與圓E：x²+（y-1）²=r²（r＞0）相切，求r的值；
（3）若直線y=kx與圓C交于M，N兩點，O為坐標原點，求

OM

•

ON

的值．

Answer 1

分析：（1）利用垂徑定理及圓的半徑r、弦心距d、弦長l三者之間的關系r2=d2+(

l

2

)2可得r，即可；
（2）利用兩圓相切的性質即可得出；
（3）利用數量積及其切割線定理即可．

解答：解：（1）設圓心C（-2a，a），則半徑r=|a|．
點C到x+y=0的距離d=

|-2a+a|

2

．所以|a|2=(

2

)2+(

|a|

2

)2，解得a²=4，a=-2．
故圓方程為（x-4）²+（y+2）²=4．
（2）由C（4，-2），r₁=2，E（0，1）．則|CE|=5．
當圓C與圓E外切時，r+2=5，r=3；
當圓C與圓E內切時，|r-2|=5，r=7．
所以r=3或r=7．
（3）設圓C與x軸切于點P．
則

OM

•

ON

=|

OM

| |

ON

|cos0=|

OM

| |

ON

|=|

OP

|2=16．

點評：熟練掌握圓的性質及其標準方程、垂徑定理及圓的半徑r、弦心距d、弦長l三者之間的關系r2=d2+(

l

2

)2、兩圓相切的性質、數量積及其切割線定理等是解題的關鍵．