Question

如圖，F是定直線l外的一個定點，C是l上的動點，有下列結論：若以C為圓心，CF為半徑的圓與l交于A、B兩點，過A、B分別作l的垂線與圓

C過F的切線交于點P和點Q，則P、Q必在以F為焦點，l為準線的同一條拋物線上.

（Ⅰ）建立適當的坐標系，求出該拋物線的方程；

（Ⅱ）對以上結論的反向思考可以得到另一個命題：

“若過拋物線焦點F的直線與拋物線交于P、Q兩點，

則以PQ為直徑的圓一定與拋物線的準線l相切”請

問：此命題是否正確？試證明你的判斷；

（Ⅲ）請選擇橢圓或雙曲線之一類比（Ⅱ）寫出相應的命題并

證明其真假.（只選擇一種曲線解答即可，若兩種都選，則以第一選擇為評分依據）

Answer 1

（1）（2）該命題為真命題（3）見解析

解析:

（Ⅰ）過F作l的垂線交l于K，以KF的中點為原點，KF所在的直線為x軸建立平面直角坐標系如圖1，并設|KF|=p，則可得該該拋物線的

方程為 .

（Ⅱ）該命題為真命題，證明如下：

如圖2，設PQ中點為M，P、Q、M在拋物線

準線l上的射影分別為A、B、D，

    ∵PQ是拋物線過焦點F的弦，

∴ |PF|=|PA|，|QF|=|QB|，又|MD|是梯形APQB

的中位線，

   ∴ .

   ∵M是以PQ為直徑的圓的圓心，∴圓M與l相切.

（Ⅲ）選擇橢圓類比（Ⅱ）所寫出的命題為：

“過橢圓一焦點F的直線與橢圓交于P、Q兩點，

則以PQ為直徑的圓一定與橢圓相應的準線l相離”.

此命題為真命題……10分

證明如下：

 證明：設PQ中點為M，橢圓的離心率為e，

則0<e<1，P、Q、M在相應準線l上的射影分別為A、B、D，

∵，∴； 同理得 .

∵|MD|是梯形APQB的中位線，

∴.

∴圓M與準線l相離.

選擇雙曲線類比（Ⅱ）所寫出的命題為：

 “過雙曲線一焦點F的直線與雙曲線交于P、Q兩點，則以PQ為直徑的圓一定與雙曲線相應的準線l相交”. 此命題為真命題，證明如下：……………………11分

  證明：設PQ中點為M，雙曲線的離心率為e，則e>1，P、Q、M在相應準線l上的 射影分別為A、B、D，

∵，∴； 同理得 .

∵|MD|是梯形APQB的中位線，

∴.

∴圓M與準線l相交.