Question

如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，已知側面BB₁C₁C與底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠B₁BC=60°，BC=BB₁=2，若二面角A-B₁B-C為30°．
（Ⅰ）證明：AC⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求AB₁與平面BB₁C₁C所成角的正切值；
（Ⅲ）在平面AA₁B₁B內找一點P，使三棱錐P-BB₁C為正三棱錐，并求P到平面BB₁C距離．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設條件知，本題可由面面垂直的性質定理證明線面垂直，由面BB₁C₁C⊥面ABC，因為面BB₁C₁C∩面BB₁C₁C=BC，AC⊥BC，易得所證明結論；
（II）求AB₁與平面BB₁C₁C所成角的正切值可取BB₁中點E，連接CE，AE，證明∠CEA即為二面角A-B₁B-C的平面角，再解三角形求出線面角的正切值即可；
（III）由（I）結合題設條件三棱錐P-BB₁C為正三棱錐可得出點P必在過三角形BB₁C的重心且與直線AC平行的直線上，找出此線與面AA₁B₁B的交點，此點即為P，求出P到平面BB₁C距離即可．
解答：解：（I）面BB₁C₁C⊥面ABC，因為面ABC∩面BB₁C₁C=BC，AC⊥BC，所以AC⊥面BB₁C₁C．
（II）取BB₁中點E，連接CE，AE，在△CBB₁中，BB₁=CB=2，∠CBB₁=60°
∴△CBB₁是正三角形，∴CE⊥BB₁，
又AC⊥面BB₁C₁C且BB₁?面BB₁C₁C，
∴BB₁⊥AE，即∠CEA即為二面角A-B₁B-C的平面角為30°，
∵AC⊥面BB₁C₁C，∴AC⊥CE，
在Rt△ECA中，∵CE=，
∴AC=CE•tan30°=1，
又AC⊥面BB₁C₁C，∴∠CB₁A即AB₁與面BB₁C₁C所成的線面角，
在Rt△B₁CA中，tan∠CB₁A==
（III）在CE上取點P₁，使=，則因為CE是△B₁BC的中線，
∴P₁是△B₁BC的重心，
在△ECA中，過P₁作P₁P∥CA交AE于P，?AC⊥面BB₁C₁C，P₁P∥CA
∴P₁P⊥面CBB₁，即P點在平面CBB₁上的射影是△BCB₁的中心，該點即為所求，且=，
∴PP₁₌．
點評：本題考查了面面垂直的性質定理、線面角的求法及點到面距離的求法，考查了數形結合及推理判斷的能力，解題的關鍵是熟練掌握面面垂直的性質及線面角的平面角的做法，本題是立體幾何中的有一定難度的題，是高考中的常考題型．