Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E為DC邊的中點，沿AE將△ADE折起，使二面角D-AE-B為60°，則直線AD與面ABCE所成角的正弦值為

 

．

Answer 1

分析：作DO垂直面ABCD，垂足為O，過O作OF垂直AE于F，連接DF、OA，則∠OFD為二面角D-AE-B的平面角等于60°，∠OAD為直線AD與面ABCD所成角，解三角形OFD，和三角形OAD，即可求出直線AD與面ABCE所成角的正弦值．

解答：解：作DO垂直面ABCD，垂足為O，過O作OF垂直AE于F，連接DF、OA，
則DF垂直AE，∠OFD為二面角D-AE-B的平面角，∠OFD=60°，
∠OAD為直線AD與面ABCD所成角，
AE=

AD2+DE2

=

13

，DF•AE=AD•DE，
DF=

AD•DE

AE

=

6

13

，

DO

DF

=sin∠OFD=sin60°

3

2

，
DO=DF•

3

2

=

6

13

•

3

2

=

3 39

13

，
sin∠OAD=

DO

AD

=

39

13

故答案為：

39

13

．

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，其中添加輔助線，構造出∠OAD為直線AD與面ABCD所成角，將線面夾角問題轉化為解三角形問題，是解答本題的關鍵．