Question

設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)，時，求函數(shù)的最大值；

（2）令，其圖象上存在一點(diǎn)，使此處切線的斜率，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)，時，方程有唯一實數(shù)解，求正數(shù)的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)的最大值為；（2）實數(shù)的取值范圍是；（3）.

【解析】

試題分析：（1）將，代入函數(shù)的解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值；（2）先確定函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為，利用恒成立的思想進(jìn)行求解；（3）方法一是利用參數(shù)分離，將問題轉(zhuǎn)化為方程、有且僅有一個實根，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值從而求出參數(shù)的值；方法二是直接構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，并對參數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，從而求出參數(shù)的值.

試題解析：（1）依題意，的定義域為，

當(dāng)，時，，，

由 ，得，解得；

由 ，得，解得或.

，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

所以的極大值為，此即為最大值；

（2），，則有在上有解，

∴，

，

所以當(dāng)時，取得最小值，；

（3）方法1：由得，令，，

令，，∴在單調(diào)遞增，

而，∴在，，即，在，，即，

∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

∴極小值為，令，即時方程有唯一實數(shù)解.

方法2：因為方程有唯一實數(shù)解，所以有唯一實數(shù)解，

設(shè)，則，令，

因為，，所以（舍去），，

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時，取最小值.

若方程有唯一實數(shù)解，

則必有 即 

所以，因為所以              12分

設(shè)函數(shù)，因為當(dāng)時，是增函數(shù)，所以至多有一解.

∵，∴方程(*)的解為，即，解得.

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值；2.函數(shù)不等式恒成立；3.參數(shù)分離法；4.分類討論法；4.函數(shù)的零點(diǎn)