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判斷函數f(x)=

x2-2x+5

x-1

在（3，+∞）上的單調性并證明你的結論．

分析：利用定義法判斷函數的單調性，并證明．

解答：解：函數為增函數．
證明：任取3＜x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1-

(x1-1)(x2-1)

)
∵3＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，（x₁-1）（x₂-1）＞（3-1）（3-1）=4
∴1-

(x1-1)(x2-1)

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以：函數f（x）在（3，+∞）上為單調遞增函數．

點評：本題主要考查函數單調性的判斷和證明，利用定義法或性質法是解決此類問題的基本方法．

練習冊系列答案

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于定義域為G的函數f（x），如果同時滿足下列兩個條件：①f（x）在G內是單調函數；②存在區間[a，b]⊆G，使f（x）在[a，b]上的值域亦為[a，b]，那么就稱f（x）為好函數．
（Ⅰ）判斷函數f（x）=

lnx

+1在（0，+∞）上是否為好函數？并說明理由；
（Ⅱ）求好函數f（x）=-x³+1符合條件的一個區間[a，b]；
（Ⅲ）若函數f（x）=m+

x+2

是好函數，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）的定義域為D：（-∞，0）∪（0，+∞），且滿足對于任意x，y∈D，有f（xy）=f（x）+f（y）．
（I）求f（1），f（-1）的值；
（II）判斷f（x）的奇偶性并說明理由；
（III）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函數，求x的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）滿足對任意實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+1成立，且當x＞0時，f（x）＞-1，f（1）=0．
（1）求f（5）的值；
（2）判斷f（x）在R上的單調性，并證明；
（3）若對于任意給定的正實數ε，總能找到一個正實數σ，使得當|x-x₀|＜σ時，|f（x）-f（x₀）|＜ε，則稱函數f（x）在x=x₀處連續．試證明：f（x）在x=0處連續．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=ln（2+3x）-

x²．
（1）求函數y=f（x）的極大值；
（2）令g（x）=f（x）+

x²+（m-1）x（m為實常數），試判斷函數g（x）的單調性；
（3）若對任意x∈[

，

]，不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0均成立，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）的定義域為A，值域為B，如果存在函數x=g（t），使得函數y=f（g（t））的值域仍然是B，那么稱函數x=g（t）是函數f（x）的一個等值域變換．
（1）判斷下列函數x=g（t）是不是函數f（x）的一個等值域變換？說明你的理由．
①f（x）=2x+1，x∈R，x=g（t）=t²-2t+3，t∈R；
②f（x）=x²-x+1，x∈R，x=g（t）=2^t，t∈R；
（2）設函數f(x)=log2(x2-x+1)，g（t）=at²+2t+1，若函數x=g（t）是函數f（x）的一個等值域變換，求實數a的取值范圍．

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