Question

設a，b均為正數，
（Ⅰ）求證：

ab

≥

2

1 a + 1 b

；
（Ⅱ）如果依次稱

a+b

2

、

ab

、

2

1 a + 1 b

分別為a，b兩數的算術平均數、幾何平均數、調和平均數．如右圖，C為線段AB上的點，令AC=a，CB=b，O為AB的垂線交半圓于D．連結OD，AD，BD．過點C作OD的垂線，垂足為E．圖中線段OD的長度是a，b的算術平均數，請分別用圖中線段的長度來表示a，b兩數的幾何平均數和調和平均數，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）由于a，b均為正數，根據基本不等式，可得

1 a + 1 b

2

≥

1 a × 1 b

=

1

ab

，即可得出

ab

≥

2

1 a + 1 b

；
（II）在直角三角形中，由DC為高，根據射影定理可得CD²=AC•CB，變形兩邊開方，得到CD長度為a，b的幾何平均數；根據在直角三角形OCD中，由射影定理可得CD²=DE•CB，得到DE的長，再由DC≥DE，得到結果．

解答：解：（I）證明：由于a，b均為正數，根據基本不等式，可得

1 a + 1 b

2

≥

1 a × 1 b

=

1

ab

，即

ab

≥

2

1 a + 1 b

，
當且僅當a=b時，等號成立．
（II）在Rt△ADB中DC為高，則由射影定理可得CD²=AC•CB，
∴CD=

ab

，即CD長度為a，b的幾何平均數，
在直角三角形OCD中，由射影定理可得CD²=DE•OD，
∴DE=

DC2

OD

=

ab

a+b 2

=

2

1 a + 1 b

，由DC≥DE，得

ab

≥

2

1 a + 1 b

，當且僅當a=b時，等號成立，
∴線段DE的長度分別為a，b的調和平均數．

點評：本題是一個新定義問題，解題過程中主要應用直角三角形邊之間的比例關系，得到比例式，本題是一個平面幾何與代數中的平均數結合的問題，是一個綜合題．