Question

設橢圓C:=1(a＞b＞0)過點(1,),F₁、F₂分別為橢圓C的左、右兩個焦點，且離心率e=.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知A為橢圓C的左頂點，直線l過右焦點F₂與橢圓C交于M、N兩點,若AM、AN的斜率k₁,k₂滿足k₁+k₂=,求直線l的方程；

(3)已知P是橢圓C上位于第一象限內的點，△PF₁F₂的重心為G，內心為I，求證：IG∥F₁F₂.

Answer 1

解:(1)由題意橢圓的離心率e=,∴=.∴a=2c.∴b²=a²-c²=3c².

∴橢圓方程為+=1.

又點(1，)在橢圓上，∴+=1.∴c²=1.∴橢圓的方程為+=1.

(2)若直線l斜率不存在，顯然k₁+k₂=0不合題意；則直線l的斜率存在.

設直線l為y=k(x-1)，直線l和橢圓交于M(x₁,y₁)，N(x₂,y₂).

將y=k(x-1)代入3x²+4y²=12中,得到(3+4k²)x²-8k²x+4k²-12=0.

依題意,Δ=9k²-9＞0得k＞1或k＜-1.由韋達定理可知

又k_AM+k_AN=+=k(+)=k［2-3(+)］,

而+===,

從而k_AM+k_AN=k(2-3·)==.

求得k=2,符合k＞1.故所求直線MN的方程為y=2(x-1).

(3)證明:設P點坐標為(x₀,y₀)(y₀＞0),而G為△PF₁F₂的重心,為G(,).

設△PF₁F₂的內切圓半徑為r，則

=|F₁F₂|·|y₀|=(|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|)·r,

于是·2c·|y₀|=(2a+2c)·r.

又a=2,c=1,y₀＞0，則r=y₀,從而I點縱坐標,從而IG∥F₁F₂.