Question

設函數（其中），區間.
（Ⅰ）定義區間的長度為，求區間的長度；
（Ⅱ）把區間的長度記作數列，令，
（1）求數列的前項和；
（2）是否存在正整數，（）,使得，，成等比數列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1);(2);.

解析試題分析：(1)掌握一元二次不等式的解法；（2）觀測數列的特點形式，看使用什么方法求和.使用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質上造成正負相消是此法的根源和目的；（3）與數列有關的探索問題：第一步：假設符合條件的結論存在；第二步：從假設出發，利用題中關系求解；第三步，確定符合要求的結論存在或不存在；第四步：給出明確結果；第五步：反思回顧，查看關鍵點.
試題解析：解：（Ⅰ）由，得，解得， 
即，所以區間的長度為；           3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 .                           
（1）∵
∴

                                       6分
（2）由（1）知，，，
假設存在正整數、 ，使得、、成等比數列，則 ，
即 , 經化簡得.
∴     ∴ （*）
當時，（*）式可化為 ，所以. 
當時，.
又∵，∴（*）式可化為 ，所以此時無正整數解.
綜上可知，存在滿足條件的正整數、，此時，.      10分
考點：（1）一元二次不等式的解法；（2）裂項法求和；(3)證明存在性問題.