Question

（05年天津卷）（12分）

如圖，在斜三棱柱中，，，，側(cè)面與底面ABC所成的二面角為120，E、F分別是棱、的中點(diǎn)。

（Ⅰ）求與底面ABC所成的角；

（Ⅱ）證明EA∥平面；

（Ⅲ）求經(jīng)過、A、B、C四點(diǎn)的球的體積。

Answer 1

解析：（I）過作平面平面，垂足為。連接，并延長交于，連接，于是為與底面所成的角。

因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090418/20090418090025011.gif' width=104>，所以為的平分線

又因?yàn)?IMG height=17 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090418/20090418090025014.gif' width=60>，所以，且為的中點(diǎn)

因此，由三垂線定理

因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090418/20090418090025017.gif' width=61>，且，所以，于是為二面角的平面角，即

由于四邊形為平行四邊形，得

所以，與底面所成的角度為

（II） 證明：設(shè)與的交點(diǎn)為，則點(diǎn)P為EG的中點(diǎn)，連結(jié)PF。

在平行四邊形中，因?yàn)镕是的中點(diǎn)，所以

而EP平面，平面，所以平面

（III）解：連接。在△和△中，
 △△

又因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090418/20090418090024002.gif' width=44>平面，所以是△的外心

設(shè)球心為，則必在上，且

在Rt△中，△

球的體積△