Question

已知函數f（x）=

x ex (x≥0) x2+2x(x＜0)

，若函數g（x）=f（x）+k有三個零點，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數零點的判定定理

專題：函數的性質及應用

分析：利用數形結合的思想，若函數g（x）=f（x）+k有三個零點，也就是f（x）=g（x）-k，即y=-k與f（x）有三個交點，只要求出f（x）的最小值即可．

解答： 解：如圖所示，∵f（x）=

x

ex

（x≥0）
∴f′(x)=

1-x

ex

令f′（x）=0，
則x=1，
當0≤x＜1時，f′（x）＞0，函數f（x）為單調遞增函數，
當x＞1時，f′（x）＜0，函數f（x）為單調遞減函數，
∴當x=1時，函數f（x）有最大值，最大值為f（1）=

1

e

，
∴-k=

1

e

即k=-

1

e

，
∴k的取值范圍是（-

1

e

，0）

點評：本題考查了函數零點的問題，利用數形結合的思想，轉化為求函數的最值問題，屬于中檔題．