Question

已知函數f(x)=ax2+lnx，f1(x)=

1

6

x2+

4

3

x+

5

9

lnx，f2(x)=

1

2

x2+2ax，a∈R
（1）求證：函數f（x）在點（e，f（e））處的切線橫過定點，并求出定點的坐標；
（2）若f（x）＜f₂（x）在區間（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（3）當a=

2

3

時，求證：在區間（1，+∞）上，滿足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x）恒成立的函數g（x）有無窮多個．

Answer 1

分析：（1）先求出導數f′(x)=2ax+

1

x

，根據導數的幾何意義得出f（x）在點（e，f（e））處的切線的斜率為k=2ae+

1

e

，從而寫出切線方程得出切線恒過定點；
（2）先令p(x)=f(x)-f2(x)=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx＜0，對x∈（1，+∞）恒成立，
利用導數求出p（x）在區間（1，+∞）上是減函數，從而得出：要使p（x）＜0在此區間上恒成立，只須滿足p(1)=-a-

1

2

≤0，由此解得a的范圍即可．
（3）當a=

2

3

時，f1(x)=

1

6

x2+

4

3

x+

5

9

lnx，f2(x)=

1

2

x2+

4

3

x．
記y=f2(x)-f1(x)=

1

3

x2-

5

9

lnx，x∈(1，+∞)．利用導數研究它的單調性，得出y=f₂（x）-f₁（x）在（1，+∞）上為增函數，最后得到滿足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x）恒成立的函數g（x）有無窮多個．

解答：解：（1）因為f′(x)=2ax+

1

x

，所以f（x）在點（e，f（e））處的切線的斜率為k=2ae+

1

e

，
所以f（x）在點（e，f（e））處的切線方程為y=(2ae+

1

e

)(x-e)+ae2+1，
整理得y-

1

2

=(2ae+

1

e

)(x-

e

2

)，所以切線恒過定點(

e

2

，

1

2

)．
（2）令p(x)=f(x)-f2(x)=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx＜0，對x∈（1，+∞）恒成立，
因為p′(x)=(2a-1)x-2a+

1

x

=

(2a-1)x2-2ax+1

x

=

(x-1)[(2a-1)x-1]

x

（*）
令p'（x）=0，得極值點x₁=1，x2=

1

2a-1

，
①當

1

2

＜a＜1時，有x₂＞x₁=1，即

1

2

＜a＜1時，在（x₂，+∞）上有p'（x）＞0，
此時p（x）在區間（x₂，+∞）上是增函數，并且在該區間上有p（x）∈（p（x₂），+∞），不合題意；
②當a≥1時，有x₂＜x₁=1，同理可知，p（x）在區間（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合題意；
③當a≤

1

2

時，有2a-1≤0，此時在區間（1，+∞）上恒有p'（x）＜0，
從而p（x）在區間（1，+∞）上是減函數；
要使p（x）＜0在此區間上恒成立，只須滿足p(1)=-a-

1

2

≤0⇒a≥-

1

2

，
所以-

1

2

≤a≤

1

2

．
綜上可知a的范圍是[-

1

2

，

1

2

]．
（3）當a=

2

3

時，f1(x)=

1

6

x2+

4

3

x+

5

9

lnx，f2(x)=

1

2

x2+

4

3

x
記y=f2(x)-f1(x)=

1

3

x2-

5

9

lnx，x∈(1，+∞)．
因為y′=

2x

3

-

5

9x

=

6x2-5

9x

＞0，所以y=f₂（x）-f₁（x）在（1，+∞）上為增函數，
所以f2(x)-f1(x)＞f2(1)-f1(1)=

1

3

，設R(x)=f1(x)+

1

3

λ，(0＜λ＜1)，則f₁（x）＜R（x）＜f₂（x），
所以在區間（1，+∞）上，滿足f1（x）＜g（x）＜f2（x）恒成立的函數g（x）有無窮多個．

點評：本題主要考查利用導數研究曲線上某點切線方程、導函數的正負與原函數的單調性之間的關系等，注意應用導數的性質：當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．