Question

若矩陣M有特征向量

e1

=

1 0

，

e2

=

0 1

，且它們所對應的一個特征值分別為2，-1．
（1）求矩陣M及其逆矩陣N
（2）求N100

2 3

．

Answer 1

設矩陣M=

a b c d

，這里a，b，c，d∈R，
因為

1 0

是矩陣A的屬于λ₁=2的特征向量，則有

2-a-b -c2-d

1 0

=

0 0

①，
又因為

0 1

是矩陣A的屬于λ₂=-1的特征向量，則有

-1 -a-b -c -1-d

0 1

=

0 0

②，
根據①②，則有

2-a=0 -c=0 -b=0 -1-d=0

從而a=2，b=0，c=0，d=-1，因此 A=

2 0 0 -1

，（6分）
設A-1=

ef gh

，則有

e f g h

2 0 0 -1

=

2e -f 2g -h

=

1 0 0 1

，
則得

2e=1 -f=0 2g=0 -h=1

從而 e=

1

2

，f=0，g=0，h=-1，因此A-1=

1 2 0 0 -1

．（10分）
（2）根據題意

e1

=

1 0

，

e2

=

0 1

分別是矩陣A^-1屬于特征值

1

2

，-1的特征向量，
由于

2 3

=2

e1

+3

e2

∴N100

2 3

=N¹⁰⁰（2

e1

+3

e2

）=2（N¹⁰⁰

e1

）+3N¹⁰⁰

e2

=2(

λ

1001

e1)+

3λ

1002

e2=2×(

1

2

)100

1 0

+3×(-1)100

0 1

=

2-99 3

．