Question

【題目】已知函數 ，且 .
（1）試求 的值；
（2）用定義證明函數 在 上單調遞增；
（3）設關于 的方程 的兩根為 ，試問是否存在實數 ，使得不等式 對任意的 及 恒成立？若存在，求出 的取值范圍；若不存在說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵
∴
∴
（2）解：∵
∴
設 ，
∴ ，
∵
∴
∴
∴
又∵ ，
∴
∴
∴ 在 上單調遞增
（3）解：∵
∴
∴
又∵
∴ ，故只需當 ，使得 恒成立，即 在 恒成立，也即 在 恒成立，
∴令 ，
由第（2）問可知 在 上單調遞增，
同理可得 在 上單調遞減.
∴
∴
故 的取值集合是 .
【解析】（1）將x=1代入解析式，即可解出a的值，（2）根據單調增函數的定義即可證明，（3）方程f（x）=x+b，得出x2-bx+1=0，由，得出，故只須當，使得恒成立，即在恒成立，令，由（2）問知，f（m）單調性，不難求出f（m）的最小值.