Question

【題目】如圖，在多面體中，四邊形為直角梯形，，，四邊形為矩形，平面平面，，，點為的中點，點為的中點.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）先根據線面垂直的判定定理，得到平面，根據題意，以為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系.表示出，求兩向量的數量積，從而可判斷出結果；

（2）根據（1）的坐標系，分別求出平面與平面的法向量，求出兩向量夾角，從而可得出結果.

（1）證明：平面平面，平面平面，，平面，

平面；

又，

如圖，以為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系.

由已知得，，，，，

所以，，

，

；

（2）設平面的一個法向量，則

所以，令，得，則

又平面，故取平面的一個法向量

由圖可知，二面角的余弦值為.