Question

若θ為銳角，求y=3cosθ•sin²θ的最大值是（　�。�

• A、3
• B、

  2

  3

• C、

  2 3

  3

• D、1

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：令cosθ=t，利用換元法把方程轉(zhuǎn)換成關(guān)于t的方程，進(jìn)而利用導(dǎo)函數(shù)求得函數(shù)的最大值．

解答： 解：令cosθ=t，則sin²θ=1-t²
y=t（1-t²）=-t³+t（0＜t＜1）
y′=-3t²+1=-3（t+

3

3

）（t-

3

3

）
t∈（0，

3

3

），y'＞0，t∈（

3

3

，1），y'＜0，
所以當(dāng)t=

3

3

時(shí)，y取得極大值．
因?yàn)樵冢?，1）內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，
所以當(dāng)t=

3

3

時(shí)，y是取得最大值
代入就得到y(tǒng)=3cosθ•sin²θ的最大值為

2 3

3

．
故選C．

點(diǎn)評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用．在函數(shù)求最值問題中，導(dǎo)數(shù)是求最值，特別是求高次函數(shù)最值的常用方法．