Question

已知函數f（x）=log₂

x+1

x-1

，g（x）=log₂（x-1）
（1）判斷f（x）在區間（1，+∞）上的單調性，并用定義證明你的結論；
（2）記函數h（x）=g（2^x+2）+kx，問：是否存在實數k使得函數h（x）為偶函數？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由；
（3）記函數F（x）=f（x）+g（x）+log₂（p-x），其中p＞1試求F（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）f（x）在區間（1，+∞）上的單調遞減．利用單調性的定義，關鍵是作差變形；
（2）假設存在這樣的k使得函數h（x）為偶函數，則h（x）-h（-x）=0恒成立，化簡可得結論；
（3）先確定函數的定義域，再利用對數的運算性質，化簡函數，分類討論，確定內函數的值域，即可求得函數的值域．

解答：解：（1）f（x）在區間（1，+∞）上的單調遞減．證明如下：
任取1＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=log₂

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

∵

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

-1=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2+1)

∵1＜x₁＜x₂，∴

2(x2-x1)

(x1-1)(x2+1)

＞0
∴

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

＞1
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x）在區間（1，+∞）上的單調遞減；
（2）h（x）=g（2^x+2）+kx=log₂（2^x+1）+kx，定義域為R
假設存在這樣的k使得函數h（x）為偶函數，則h（x）-h（-x）=0恒成立
即log₂（2^x+1）+kx-log₂（2^-x+1）+kx=0，化簡得（1+2k）x=0
∴k=-

1

2

使得函數h（x）為偶函數．
（3）首先函數F（x）的定義域是（1，p）
F（x）=log₂（x+1）（p-x）=log₂[-x²+（p-1）x+p]=log₂[-（x-

p-1

2

^）2+

(p+1)2

4

]，顯然

p-1

2

＜

p

2

①當

p-1

2

≤1，即1＜p≤3時，t=-（x-

p-1

2

^）2+

(p+1)2

4

在（1，p）上單調減，g（p）＜t＜g（1），即0＜t＜2p-2，
∴f（x）＜1+log₂（p-1），函數f（x）的值域為（-∞，log₂（p-1））；
②當1＜

p-1

2

＜

p

2

，即p＞3時，t=-（x-

p-1

2

^）2+

(p+1)2

4

在（1，

p-1

2

）上單調遞增，在（

p-1

2

，p）上單調遞減，即0＜t≤

(p+1)2

4

，
∴f（x）≤2log₂（p+1）-2，函數f（x）的值域為（-∞，2log₂（p+1）-2）．
綜上：當1＜p≤3時，函數f（x）的值域為（-∞，log₂（p-1））；當p＞3時，函數f（x）的值域為（-∞，2log₂（p+1）-2）．

點評：本題考查函數的單調性，考查函數的值域，考查分類討論的數學思想，解題的關鍵是確定函數的定義域，化簡函數．