Question

已知數列{a_n}與{b_n}滿足b_n+1a_n+b_na_n+1=（-2）ⁿ+1，b_n=

3+(-1)n-1

2

，n∈N^*，且a₁=2．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值
（Ⅱ）設c_n=a_2n+1-a_2n-1，n∈N^*，證明{c_n}是等比數列
（Ⅲ）設S_n為{a_n}的前n項和，證明

S1

a1

+

S2

a2

+…+

S2n-1

a2n-1

+

S2n

a2n

≤n-

1

3

（n∈N^*）

Answer 1

分析：（Ⅰ）推出b_n的表達式，分別當n=1時，求出a₂=-

3

2

；當n=2時，解出a₃=8；
（Ⅱ）設c_n=a_2n+1-a_2n-1，n∈N^*，利用等比數列的定義，證明{c_n}是等比數列；
（Ⅲ）求出S_2n，a_2n，S_2n-1，a_2n-1，求出

S2n-1

a2n-1

+

S2n

a2n

的表達式，然后求出

S1

a1

+

S2

a2

+…+

S2n-1

a2n-1

+

S2n

a2n

的表達式，利用放縮法證明結果．

解答：（Ⅰ）解：由b_n=

3+(-1)n-1

2

，（n∈N^*）可得b_n=

2 n為奇數 1  n為偶數

又b_n+1a_n+b_na_n+1=（-2）ⁿ+1，
當n=1時，a₁+2a₂=-1，可得由a₁=2，a₂=-

3

2

；
當n=2時，2a₂+a₃=5可得a₃=8；
（Ⅱ）證明：對任意n∈N^*，a_2n-1+2a_2n=-2^2n-1+1…①
2a_2n+a_2n+1=2²ⁿ+1…②
②-①，得a_2n+1-a_2n-1=3×2^2n-1，即：c_n=3×2^2n-1，于是

Cn+1

Cn

=4
所以{c_n}是等比數列．
（Ⅲ）證明：
a1=2，由（Ⅱ）知，當k∈N^*且k≥2時，
a_2k-1=a₁+（a₃-a₁）+（a₅-a₃）+（a₇-a₅）+…+（a_2k-1-a_2k-3）
=2+3（2+2³+2⁵+…+2^2k-3）=2+3×

2(1-4k-1)

1-4

=2^2k-1，
故對任意的k∈N^*，a_2k-1=2^2k-1．
由①得2^2k-1+2a_2k=-2^2k-1+1，所以a2k=

1

2

-22k-1k∈N^*，
因此，S2k=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2k-1+a2k)  = 

k

2

于是，S2k-1=S2k-a2k=

k-1

2

+22k-1．
故

S2k-1

a2k-1

+

S2k

a2k

=

k-1 2 +22k-1

22k-1

+

k 2

1 2 -22k-1

=

k-1+22k

22k-1

+

k

1-22k

=1-

1

4k

-

k

4k(4k-1)

所以，對任意的n∈N^*，

S1

a1

+

S2

a2

+…+

S2n-1

a2n-1

+

S2n

a2n

=（

S1

a1

+

S2

a2

）+…+（

S2n-1

a2n-1

+

S2n

a2n

）
=(1-

1

4

-

1

12

)+(1-

1

42

-

2

42(42-1)

)+…+(1-

1

4n

-

n

4n(4n-1)

)
=n-(

1

4

+

1

12

)-(

1

42

+

2

42(42-1)

)-…-(

1

4n

+

n

4n(4n-1)

)
=n-(

1

4

+

1

12

+

1

42

+

2

42(42-1)

+…+

1

4n

+

n

4n(4n-1)

)
≤n-

1

4

-

1

12

=n-

1

3

（n∈N^*）

點評：本題考查等比數列的定義，等比數列求和等基礎知識，考查計算能力、推理論證能力、綜合發現問題解決問題的能力以及分類討論思想．