Question

已知函數(shù)f(x)＝x^m－且f(4)＝.
(1)求m的值；
(2)判定f(x)的奇偶性；
(3)判斷f(x)在(0，＋∞)上的單調(diào)性，并給予證明．

Answer 1

（1）m＝1
（2）奇函數(shù)
（3）見解析

解：(1)∵f(4)＝，∴4^m－＝，
∴m＝1.
(2)由(1)知f(x)＝x－，
∴函數(shù)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，
關(guān)于原點對稱．
又f(－x)＝－x＋＝－(x－)＝－f(x)，
所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．
(3)函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，證明如下：設(shè)x₁>x₂>0，
則f(x₁)－f(x₂)＝x₁－－(x₂－)＝(x₁－x₂)(1＋)，
因為x₁>x₂>0，
所以x₁－x₂>0,1＋>0.
所以f(x₁)>f(x₂)．
所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為單調(diào)遞增函數(shù)．