Question

關于某港口今后20年的發展規劃，有如下兩種方案：
方案甲：按現狀進行運營．據測算，每年可收入760萬元，但由于港口淤積日益嚴重，從明年開始需投資進行清淤，第一年投資50萬元，以后逐年遞增20萬元．
方案乙：從明年起開始投資6000萬元進行港口改造，以徹底根治港口淤積并提高吞吐能力．港口改造需用時4年，在此期間邊改造邊運營．據測算，開始改造后港口第一年的收入為320萬元，在以后的3年中，每年收入都比上一年增長50%，而后各年的收入都穩定在第4年的水平上．
（I）從明年開始至少經過多少年，方案乙能收回投資（累計總收益為正數）？
（II）從明年開始至少經過多少年，方案乙的累計總收益超過方案甲？（注：收益=收入-投資）

Answer 1

分析：（I）設從明年開始經過第n年，方案乙的累計總收益為正數．在方案乙中，前4年的總收入為

320×(1-1.54)

1-1.5

=2600＜6000，故n必定不小于5，則由260+320×1.5⁴（n-4）＞6000，能求出n的最小值．
（II）設從明年開始經過n年方案甲與方案乙的累計總收益分別為y₁，y₂萬元，則y1=760n-[50n+

n(n-1)

2

×20]=-10n2+720n，當n≤4時，則y₁＞0，y₂＜0，可得y₁＞y₂；當n≥5時，y₂=2600+320×1.5⁴（n-4）-6000=1620n-9800，由此可得n的最小值．

解答：解：（I）設從明年開始經過第n年，方案乙的累計總收益為正數．
在方案乙中，前4年的總收入為

320×(1-1.54)

1-1.5

=2600＜6000，
故n必定不小于5，則由260+320×1.5⁴（n-4）＞6000，
解得n＞

494

81

，故n的最小值為7，
答：從明年開始至少經過7年，方案乙能收回投資．
（II）設從明年開始經過n年方案甲與方案乙的累計總收益分別為y₁，y₂萬元，則y1=760n-[50n+

n(n-1)

2

×20]=-10n2+720n，
當n≤4時，則y₁＞0，y₂＜0，可得y₁＞y₂；
當n≥5時，y₂=2600+320×1.5⁴（n-4）-6000=1620n-9800，
令y₁＜y₂，
可得1620n-9800＞-10n²+720n，
即n（n+90）＞998，
由10（10+90）＞9989（9+90）＜998，
可得n的最小值為10．
答：從明年開始至少經過10年，方案乙的累計總收益超過方案甲．

點評：本題考查數列在生產實際中的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點，容易出錯．解題時要注意不等式性質的靈活運用．